پی
(اِ) مختصر کلمهء یونانی پری فریا(1) بمعنی دایره. علامتی مختار نشان دادن رابطهء ثابت میان محیط دایره را با قطر آن. نسبت طول محیط هر دایره بقطر آن، و آن تقریباً مساوی 14/3 است و آن را بدین علامت نمایش دهند.
تاریخ عدد «پی» در شرق و غرب: همچنانکه نخستین مخترع کسرهای اعشاری غیاث الدین جمشید کاشانی است، عدد «پی» را نیز وی در رسالهء محیطیه با شانزده رقم اعشاری دقیق(2) «پی» حساب کرده و دقتی که او در محاسبه بکار برده حدود دو قرن بی رقیب مانده است. با بکار بردن چهار رقم اعشاری عدد «پی» میتوان محاسباتی را که عملاً مورد احتیاج هستند با دقت کافی انجام داد. مثلاً برای تهیهء نقشه بهترین هواپیماها چهار رقم اعشاری دقیق عدد «پی» کافیست. اگر 16 رقم اعشاری عدد «پی» را بکار بریم طول دایره ای که شعاعش مساوی با فاصلهء زمین از خورشید باشد با خطائی کمتر از قطر یک مو بدست خواهد آمد(3). با سی رقم اعشاری دقیق «پی» میتوان محیط جهان مرئی را حساب کرد، بقسمی که خطای حاصل آنقدر کوچک باشد که قویترین میکرسکپهای کنونی از عهدهء اندازه گیری آن برنیایند(4). طول هر دایره متناسب با قطر آن می باشد. مساحت هر دایره متناسب با مربع شعاع آن است. در هر دو مورد ضریب تناسب عدد «پی» است که تقریباً مساوی 14/3 است. این مطلب را امروزه هر کودک دبستانی میداند، اما یونانیان برای اثبات این موضوع دو قرن صرف وقت کردند. آنتیفن(5) که معاصر سقراط بود و از 469 تا 399 ق. م. میزیست یک مربع در دایره ای محاط کرد، سپس آن مربع را به هشت ضلعی تبدیل نمود و فکر کرد که عدهء اضلاع را آنقدر دو برابر کند تا وقتی برسد که چند ضلعی حاصل عملاً بدایره منطبق شود. اقلیدس (300 سال ق. م.) در کتاب «اصول» با دقت بیشتری روش افناء را بسط داد، یعنی عدهء اضلاع چندضلعی های محاطی و محیطی را دو برابر کرد و نشان داد که تفاضل محیط ها رفته رفته کم میشود. روش افناء(6) عبارت از اینست که ثابت میکنند تفاضل دو مقدار از یک کمیت بسیار کوچک است و از آن صرفنظر میکنند. ارشمیدس (287 تا 212 ق. م.) این نتایج را یکجا جمع کرد و آن را توسعه داد و ثابت کرد که مساحت سطح دایره مساویست با نصف حاصل ضرب شعاع آن در طول محیطش، و نشان داد که نسبت محیط دایره بقطر آن بین دو عدد زیر محصور است:
14285/3 = 22703
و
14084/3 = 1010برهان این مطلب در کتاب شرح عیون الحساب موسوم به کفایه اللباب فی شرح مشکلات عیون الحساب تألیف محمد باقربن محمد حسین بن محمد باقر یزدی که نوهء مؤلف متن عیون الحساب است نوشته شده. (نسخهء خطی آن در کتابخانهء مجلس شورای ملی است) و نیز برهان مطلب مذکور در کتاب دانستنی های هندسه(7) تألیف فوری مفصلاً نوشته شده است. خارج از یونان نیز در قدیم اشخاصی برای تعیین عدد «پی» کار کرده اند. در مصر مؤلف پاپیروس ریند(8) مقدار «پی» را مساوی با:
1604/3 =2569) =
تعیین می کند و این عدد تقریباً مساوی است با عدد 1622/3 = 10 = که براهما گوپتا (متولد 598 ق. م.) در هند برای «پی» بدست داده است. در هند اریاباتا (متولد 500 م.) مقدار دقیق 1416/3 را حساب کرده است. در چین چوشونک شیه(9) (متولد 430 م.) ثابت کرد که عدد «پی» بین دو مقدار: 1415926/3 و 1415927/3 محصور است و مقدار تقریبی: 1415929/3 = 355را در محاسبات بجای «پی» بکار برد. در سال 1220 م. فیبناکسی(10) ایتالیائی که بمصر و شام و یونان مسافرت کرده بود در کتاب «هندسهء عملی» خود حدود زیر را برای «پی» معین کرد(11).
1427/3 < < 1410/3
در حدود سال 1593 م. فرانسوا ویت(12)فرانسوی محیط 393216 ضلعی را حساب کرده و یازده رقم اعشاری دقیق «پی» را بدست آورد. آدرین(13) در سال 1593 پانزده رقم اعشاری «پی» را بدست آورد و لودلف(14)آلمانی قسمتی از عمر خود را صرف بررسی این مسأله کرد و در 1596 م. با روشی که تقریباً همان روش ارشمیدس است 35 رقم اعشاری دقیق «پی» را بدست آورد. برحسب وصیت لودلف این 35 رقم اعشاری را روی سنگ قبرش نوشتند و هموطنانش بعد از او عدد «پی» را عدد لودلف نامیدند(15) و از این تاریخ ببعد در اروپا برای محاسبهء رقم اعشاری عدد «پی» روشهای جدیدی بکار بردند. امروزه 707 رقم اعشاری «پی» حساب شده است، بدین معنی که در سال 1874 م. ویلیام شانکس انگلیسی 707 رقم اعشاری دقیق عدد «پی» را حساب کرد. شصت رقم اعشاری آن اینست:
14159265358979323846264338/3
3279502884197169399375105820974944
اینک کارهای ریاضی دانان ایرانی: در حدود سال 830 م. (215 ه . ق.) محمد بن موسی خوارزمی بزرگترین ریاضی دانان و منجمان دربار مأمون عباسی در کتاب جبر و مقابلهء خود مقادیر زیر را برای «پی» تعیین کرده است:
2220000 و نوشته است که مقدار اول، یک مقدار تقریبی و دومی برای مهندسان و سومی برای منجمان است ولی ظاهراً خوارزمی این مقادیر را از هندیان اقتباس کرده است(16) و (17). استاد غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضی دان بزرگ ایرانی در سال 827 ه . ق. 1423 م. رساله ای بنام «رسالهء محیطیه» در باب محاسبهء نسبت محیط بقطر دایره یعنی عدد «پی» نوشته است که نسخهء اصل آن بخط مصنف در کتابخانهء آستانهء قدس رضوی محفوظ است. این نسخهء نفیس از دو جهت دارای اهمیت و ارزش فوق العاده است: نخست از جهت تاریخ ریاضیات، زیرا موضوع این رساله محاسبهء عدد «پی» بوسیلهء یک ریاضی دان ایرانی در سال 1423 م. است. در قسمت اول این بحث دیدیم که تا قبل از سال 1593 م. فقط 6 رقم اعشاری دقیق «پی» بدست آمده بود و در حدود سال 1600 م. بود که در فرانسه یازده رقم اعشاری و دقیق، و در آلمان 35 رقم اعشاری دقیق «پی» را حساب کردند، ولی استاد غیاث الدین جمشید در 1423 یعنی حدود دو قرن زودتر از اروپائیان 16 رقم دقیق اعشاری عدد «پی» را بدست آورد. مخصوصاً اهمیت این محاسبه و شاهکار غیاث الدین جمشید را وقتی بهتر درک خواهیم کرد که بدانیم در آن موقع محاسبات بیشتر در دستگاه شستگانی (ستینی) صورت میگرفته و بنابراین استخراج جذر و اعمال دیگر حساب بسیار مشکلتر از امروزه بوده و بعلاوه طریقه ای را که غیاث الدین جمشید برای استخراج جذر بکار برده خود ابداع کرده است. اهمیت دیگر نسخهء مذکور از این جهت است که این نسخه بدست مصنف آن نوشته شده و بنابراین به هیچ روی احتمال اینکه بواسطهء بیسوادی و سهل انگاری کاتبان و نسخه نویسان تصرفی در آن شده یا غلطی در آن روی داده باشد نیست. بخصوص که استاد بنا بقول خودش هریک از این محاسبات را در این رساله دو تا سه بار امتحان کرده و پس از آنکه از درستی آن اطمینان بدست آورده در زیر آن عمل علامت «صح» نهاده و صحت عملیات و اعداد را تصدیق فرموده است. چون مقدمهء این رساله شامل تاریخ بسیار دقیقی از محاسبهء عدد «پی» در مشرق زمین میباشد که بقلم استادی موشکاف و محقق همچون غیاث الدین نوشته شده ترجمهء قسمتی از آن نقل می شود:
«... نیازمندترین مردم خدا به آمرزش و بخشش او جمشید پسر مسعودبن محمود طبیب کاشانی ملقب به غیاث الدین که خداوند حال او را نیکو بگرداند چنین میگوید: ارشمیدس ثابت کرده است که محیط دایره از سه برابر قطر آن بیشتر است و این زیادتی از1قطر کمتر و از10بین این مقدار مساوی1قطرش 497 ذرع باشد محیطش بین یک ذرع مجهول و مشکوک است. (به اصطلاح امروز مقدار تقریبی محیطش فقط تا یک ذرع معلوم است). و در دایرهء عظیمه ای که بر کرهء زمین فرض شود بین پنج فرسخ مجهول است زیرا قطر آن بر حسب فرسخ تقریباً پنج برابر مقدار مزبور میباشد و در دایره البروج بین بیش از صد هزار فرسخ مجهول است و این خطاها که در مورد محیط دایره این اندازه بسیار است در مورد مساحات چه اندازه خواهد بود؟ و این از آنجهت است که ارشمیدس طول محیط نود و شش ضلعی محاط در یک دایره را استخراج کرده است و محیط آن از محیط دایره کمتر است ...». «و اما ابوالوفاء بوزجانی (محمدبن یحیی بن اسماعیل بن عباس بوزجانی از مردم بوزجان، شهرکی میان هرات و نیشابور، حاسب مشهور و صاحب استخراجات غریبه در هندسه و بزرگترین عالم ریاضی اسلام، مولد مستهل رمضان 328 و وفات 376 ه . ق. / 939 تا 986 م.) و ترقوس نیم درجهء دایره ای را که قطرش 120 باشد بحساب تقریبی بدست آورده و آن را در720 ضرب کرده و محیط هفتصد و بیست ضلعی منتظم محاطی را حساب کرده و همچنین محیط هفتصد و بیست ضلعی منتظم محیط بر دایره را نیز حساب کرده و گفته است: هرگاه قطر 120 باشد محیط 376 و کسری میشود و این کسر از 59 دقیقه و 10 ثانیه و 59 ثالثه بیشتر و از 59 دقیقه و 28 ثانیه و 54 ثالثه و 12 رابعه کمتر است، و این در دایرهء عظیمه ای که بر کرهء زمین فرض شود تقریباً هزار ذرع میشود...». برهان صحت استخراج ابوالوفاء نیز در کتاب شرح عیون الحساب نوشته شده است. اگر اعداد فوق را بدستگاه اعشاری تبدیل و نسبت محیط را بقطر حساب کنیم معلوم میشود که ابوالوفاء بوزجانی عدد «پی» را محصور بین دو عدد 14158/3 و 14155/3 بدست آورده است. «اما ابوریحان بیرونی و ترقوس دو درجه ای را حساب کرده و طول محیط 180 ضلعی منتظم محاطی را مساوی با (و یو نط ی مح ها) بدست آورده است، و نصف مجموع اینها را طول محیط دایره گرفته... و این در دایرهء عظیمه ای که بر کرهء زمین فرض شود تقریباً یک فرسخ میشود...». پس از بیان این مقدمات غیاث الدین جمشید در رسالهء محیطیه مینویسد: «چون این اعمال مختل بود خواستم محیط دایره را بر حسب قطر آن طوری استخراج کنم که یقین داشته باشم در دایره ای که قطرش 600000 برابر قطر زمین باشد تفاوت نتیجهء حساب من با حقیقت بیک مو نرسد و یک مو عبارتست از یک ششم عرض جو معمولی و این رساله را که شامل استخراج محیط دایره است در ده فصل و یک خاتمه نوشتم و آن را محیطیه نامیدم...» در فصل اول رسالهء محیطیه استاد قضیهء زیر را ثابت میکند: اگر روی نیمدایره ای بقطر R2 = ABکمان دلخواه ACرا در نظر بگیریم و وسط کمان ABراکه مکمل AC است نقطهء Dبنامیم و وتر ADرا رسم کنیم رابطهء زیر برقرار است:
2-R (AB + AC) = AD
و سپس نتیجه میگیرد که اگر شعاع دایره و طول وتر ACدر دست باشد و وتر ACرا با قطر ABجمع و حاصل را در شعاع ضرب کنیم مربع وتر ADبدست می آید. در فصل دوم نیمدایره ای بقطر AB= 2R را در نظر میگیرد و کمان ACرا مساوی با 60 درجه اختیار میکند و وسط کمان BCرا نقطهء D و وسط کمان BD را نقطهء E و وسط کمان BEرا نقطهء Fمی نامد و میگوید از روی قضیه ای که در فصل اول ثابت شد میتوان طول وترهای AD و AE و AF را بدست آورد و این عمل را تا هر جا بخواهیم میتوانیم ادامه دهیم و آنگاه وسط کمان BFرا نقطهء Tمی نامد و OTرا رسم میکند تا BFرا در نقطهء K قطع کند و در نقطهء Tمماسی بر دایره رسم میکند تا امتداد OF را در نقطهء Q و امتداد OB را در نقطهء Pقطع کند و میگوید اگر BFضلع چند ضلعی منتظم محاط در دایره باشد PQضلع چندضلعی منتظم محیطی مشابه آن خواهد بود و صحت رابطهء زیر را ثابت میکند:
أاR - OK
و میگوید که OKنصف AF است و اگر OKو BFمعلوم باشند از رابطهء فوق میتوان PQیعنی ضلع چند ضلعی منتظم محیطی را بدست آورد.
در فصل سوم ثابت میکند که برای آنکه محیط دایره ای را که قطرش 600000 برابر قطر زمین باشد طوری استخراج کنیم که تفاوت بین حاصل و حقیقت از یک مو کمتر باشد کافیست که ثلث محیط را چنانکه در فصل دوم گفته شد 28 مرتبه نصف کنیم. و سپس در فصل های چهارم و پنجم 28 بار عمل مذکور در فصل دوم را انجام میدهد و به این ترتیب ضلع چند ضلعی های منتظم محاطی و محیطی را که عدهء اضلاعشان 80510368 باشد و همچنین محیط آنها را حساب میکند. سرانجام دو برابر عدد «پی» را بحساب ستینی مساوی با:
و یو نط کح ا لد نا مو ید ن یعنی:
6 16 59 28 1 34
درجه و دقیقه و ثانیه و ثالثه و رابعه و خامسه
51 46 14 50
و سادسه و سابعه و ثامنه و تاسعه
و در دستگاه اعشاری مساوی:
2831853071795865/6
به دست می آورد. به این حساب عدد «پی» مساوی است با:
1415926535897932/3
و این 16 رقم اعشار با 16 رقم اعشار مقدار واقعی «پی» موافق است.
این را هم ناگفته نگذاریم که شیخ بهائی در خلاصه الحساب مقدار«پی» را مساوی ( 3-1 ) 4 و یا11آقای ابوالقاسم قربانی در شمارهء 5 سال 6 مجلهء سخن صص399 تا 407).
(1) - Periphereia.
(2) - Decimales exactes.
(3) - Les Grands courants de la Pensee mathematique presentes par
F.le Lionnais. Paris 1948.
(4) - Les Mathematiques pour tous, Par Lancelot Hoghen. Paris 1950.
(5) - Jura.
(6) - Exhaustion.
(7) - Curiosites Geometriques. Par Fourrey Paris.
(8) - Rhind. قدیمترین مدرک از ریاضیات قدیم که در دست میباشد و تقریبا در هزاروپانصد سال قبل از میلاد تألیف شده است. رجوع بحاشیه 7 صفحه قبل و حاشیه 12 همین صفحه شود.
(9) - Tsu - chug - chih.
(10) - Fibonacci. (11) - جبر و مقابلهء خیام به انضمام تاریخ علوم ریاضی تا زمان خیام تألیف دکتر غلامحسین مصاحب چ تهران 1317 ه . ش.
(12) - Viete.
(13) - Adrien Romain.
(14) - Ludolf.
(15) - Recreations mathematiques et Problemes des temps anciens et
modernes. Par W.Rouse Balle.Paris
1919.ll.
(16) - Curiosites geometriques. أ Par Fourrey. Paris.
(17) - Recreations mathematiques et Problemes des temps anciens et
modernes. Par W. Rouse Balle. Pares
1919. II.
تاریخ عدد «پی» در شرق و غرب: همچنانکه نخستین مخترع کسرهای اعشاری غیاث الدین جمشید کاشانی است، عدد «پی» را نیز وی در رسالهء محیطیه با شانزده رقم اعشاری دقیق(2) «پی» حساب کرده و دقتی که او در محاسبه بکار برده حدود دو قرن بی رقیب مانده است. با بکار بردن چهار رقم اعشاری عدد «پی» میتوان محاسباتی را که عملاً مورد احتیاج هستند با دقت کافی انجام داد. مثلاً برای تهیهء نقشه بهترین هواپیماها چهار رقم اعشاری دقیق عدد «پی» کافیست. اگر 16 رقم اعشاری عدد «پی» را بکار بریم طول دایره ای که شعاعش مساوی با فاصلهء زمین از خورشید باشد با خطائی کمتر از قطر یک مو بدست خواهد آمد(3). با سی رقم اعشاری دقیق «پی» میتوان محیط جهان مرئی را حساب کرد، بقسمی که خطای حاصل آنقدر کوچک باشد که قویترین میکرسکپهای کنونی از عهدهء اندازه گیری آن برنیایند(4). طول هر دایره متناسب با قطر آن می باشد. مساحت هر دایره متناسب با مربع شعاع آن است. در هر دو مورد ضریب تناسب عدد «پی» است که تقریباً مساوی 14/3 است. این مطلب را امروزه هر کودک دبستانی میداند، اما یونانیان برای اثبات این موضوع دو قرن صرف وقت کردند. آنتیفن(5) که معاصر سقراط بود و از 469 تا 399 ق. م. میزیست یک مربع در دایره ای محاط کرد، سپس آن مربع را به هشت ضلعی تبدیل نمود و فکر کرد که عدهء اضلاع را آنقدر دو برابر کند تا وقتی برسد که چند ضلعی حاصل عملاً بدایره منطبق شود. اقلیدس (300 سال ق. م.) در کتاب «اصول» با دقت بیشتری روش افناء را بسط داد، یعنی عدهء اضلاع چندضلعی های محاطی و محیطی را دو برابر کرد و نشان داد که تفاضل محیط ها رفته رفته کم میشود. روش افناء(6) عبارت از اینست که ثابت میکنند تفاضل دو مقدار از یک کمیت بسیار کوچک است و از آن صرفنظر میکنند. ارشمیدس (287 تا 212 ق. م.) این نتایج را یکجا جمع کرد و آن را توسعه داد و ثابت کرد که مساحت سطح دایره مساویست با نصف حاصل ضرب شعاع آن در طول محیطش، و نشان داد که نسبت محیط دایره بقطر آن بین دو عدد زیر محصور است:
14285/3 = 22703
و
14084/3 = 1010برهان این مطلب در کتاب شرح عیون الحساب موسوم به کفایه اللباب فی شرح مشکلات عیون الحساب تألیف محمد باقربن محمد حسین بن محمد باقر یزدی که نوهء مؤلف متن عیون الحساب است نوشته شده. (نسخهء خطی آن در کتابخانهء مجلس شورای ملی است) و نیز برهان مطلب مذکور در کتاب دانستنی های هندسه(7) تألیف فوری مفصلاً نوشته شده است. خارج از یونان نیز در قدیم اشخاصی برای تعیین عدد «پی» کار کرده اند. در مصر مؤلف پاپیروس ریند(8) مقدار «پی» را مساوی با:
1604/3 =2569) =
تعیین می کند و این عدد تقریباً مساوی است با عدد 1622/3 = 10 = که براهما گوپتا (متولد 598 ق. م.) در هند برای «پی» بدست داده است. در هند اریاباتا (متولد 500 م.) مقدار دقیق 1416/3 را حساب کرده است. در چین چوشونک شیه(9) (متولد 430 م.) ثابت کرد که عدد «پی» بین دو مقدار: 1415926/3 و 1415927/3 محصور است و مقدار تقریبی: 1415929/3 = 355را در محاسبات بجای «پی» بکار برد. در سال 1220 م. فیبناکسی(10) ایتالیائی که بمصر و شام و یونان مسافرت کرده بود در کتاب «هندسهء عملی» خود حدود زیر را برای «پی» معین کرد(11).
1427/3 < < 1410/3
در حدود سال 1593 م. فرانسوا ویت(12)فرانسوی محیط 393216 ضلعی را حساب کرده و یازده رقم اعشاری دقیق «پی» را بدست آورد. آدرین(13) در سال 1593 پانزده رقم اعشاری «پی» را بدست آورد و لودلف(14)آلمانی قسمتی از عمر خود را صرف بررسی این مسأله کرد و در 1596 م. با روشی که تقریباً همان روش ارشمیدس است 35 رقم اعشاری دقیق «پی» را بدست آورد. برحسب وصیت لودلف این 35 رقم اعشاری را روی سنگ قبرش نوشتند و هموطنانش بعد از او عدد «پی» را عدد لودلف نامیدند(15) و از این تاریخ ببعد در اروپا برای محاسبهء رقم اعشاری عدد «پی» روشهای جدیدی بکار بردند. امروزه 707 رقم اعشاری «پی» حساب شده است، بدین معنی که در سال 1874 م. ویلیام شانکس انگلیسی 707 رقم اعشاری دقیق عدد «پی» را حساب کرد. شصت رقم اعشاری آن اینست:
14159265358979323846264338/3
3279502884197169399375105820974944
اینک کارهای ریاضی دانان ایرانی: در حدود سال 830 م. (215 ه . ق.) محمد بن موسی خوارزمی بزرگترین ریاضی دانان و منجمان دربار مأمون عباسی در کتاب جبر و مقابلهء خود مقادیر زیر را برای «پی» تعیین کرده است:
2220000 و نوشته است که مقدار اول، یک مقدار تقریبی و دومی برای مهندسان و سومی برای منجمان است ولی ظاهراً خوارزمی این مقادیر را از هندیان اقتباس کرده است(16) و (17). استاد غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضی دان بزرگ ایرانی در سال 827 ه . ق. 1423 م. رساله ای بنام «رسالهء محیطیه» در باب محاسبهء نسبت محیط بقطر دایره یعنی عدد «پی» نوشته است که نسخهء اصل آن بخط مصنف در کتابخانهء آستانهء قدس رضوی محفوظ است. این نسخهء نفیس از دو جهت دارای اهمیت و ارزش فوق العاده است: نخست از جهت تاریخ ریاضیات، زیرا موضوع این رساله محاسبهء عدد «پی» بوسیلهء یک ریاضی دان ایرانی در سال 1423 م. است. در قسمت اول این بحث دیدیم که تا قبل از سال 1593 م. فقط 6 رقم اعشاری دقیق «پی» بدست آمده بود و در حدود سال 1600 م. بود که در فرانسه یازده رقم اعشاری و دقیق، و در آلمان 35 رقم اعشاری دقیق «پی» را حساب کردند، ولی استاد غیاث الدین جمشید در 1423 یعنی حدود دو قرن زودتر از اروپائیان 16 رقم دقیق اعشاری عدد «پی» را بدست آورد. مخصوصاً اهمیت این محاسبه و شاهکار غیاث الدین جمشید را وقتی بهتر درک خواهیم کرد که بدانیم در آن موقع محاسبات بیشتر در دستگاه شستگانی (ستینی) صورت میگرفته و بنابراین استخراج جذر و اعمال دیگر حساب بسیار مشکلتر از امروزه بوده و بعلاوه طریقه ای را که غیاث الدین جمشید برای استخراج جذر بکار برده خود ابداع کرده است. اهمیت دیگر نسخهء مذکور از این جهت است که این نسخه بدست مصنف آن نوشته شده و بنابراین به هیچ روی احتمال اینکه بواسطهء بیسوادی و سهل انگاری کاتبان و نسخه نویسان تصرفی در آن شده یا غلطی در آن روی داده باشد نیست. بخصوص که استاد بنا بقول خودش هریک از این محاسبات را در این رساله دو تا سه بار امتحان کرده و پس از آنکه از درستی آن اطمینان بدست آورده در زیر آن عمل علامت «صح» نهاده و صحت عملیات و اعداد را تصدیق فرموده است. چون مقدمهء این رساله شامل تاریخ بسیار دقیقی از محاسبهء عدد «پی» در مشرق زمین میباشد که بقلم استادی موشکاف و محقق همچون غیاث الدین نوشته شده ترجمهء قسمتی از آن نقل می شود:
«... نیازمندترین مردم خدا به آمرزش و بخشش او جمشید پسر مسعودبن محمود طبیب کاشانی ملقب به غیاث الدین که خداوند حال او را نیکو بگرداند چنین میگوید: ارشمیدس ثابت کرده است که محیط دایره از سه برابر قطر آن بیشتر است و این زیادتی از1قطر کمتر و از10بین این مقدار مساوی1قطرش 497 ذرع باشد محیطش بین یک ذرع مجهول و مشکوک است. (به اصطلاح امروز مقدار تقریبی محیطش فقط تا یک ذرع معلوم است). و در دایرهء عظیمه ای که بر کرهء زمین فرض شود بین پنج فرسخ مجهول است زیرا قطر آن بر حسب فرسخ تقریباً پنج برابر مقدار مزبور میباشد و در دایره البروج بین بیش از صد هزار فرسخ مجهول است و این خطاها که در مورد محیط دایره این اندازه بسیار است در مورد مساحات چه اندازه خواهد بود؟ و این از آنجهت است که ارشمیدس طول محیط نود و شش ضلعی محاط در یک دایره را استخراج کرده است و محیط آن از محیط دایره کمتر است ...». «و اما ابوالوفاء بوزجانی (محمدبن یحیی بن اسماعیل بن عباس بوزجانی از مردم بوزجان، شهرکی میان هرات و نیشابور، حاسب مشهور و صاحب استخراجات غریبه در هندسه و بزرگترین عالم ریاضی اسلام، مولد مستهل رمضان 328 و وفات 376 ه . ق. / 939 تا 986 م.) و ترقوس نیم درجهء دایره ای را که قطرش 120 باشد بحساب تقریبی بدست آورده و آن را در720 ضرب کرده و محیط هفتصد و بیست ضلعی منتظم محاطی را حساب کرده و همچنین محیط هفتصد و بیست ضلعی منتظم محیط بر دایره را نیز حساب کرده و گفته است: هرگاه قطر 120 باشد محیط 376 و کسری میشود و این کسر از 59 دقیقه و 10 ثانیه و 59 ثالثه بیشتر و از 59 دقیقه و 28 ثانیه و 54 ثالثه و 12 رابعه کمتر است، و این در دایرهء عظیمه ای که بر کرهء زمین فرض شود تقریباً هزار ذرع میشود...». برهان صحت استخراج ابوالوفاء نیز در کتاب شرح عیون الحساب نوشته شده است. اگر اعداد فوق را بدستگاه اعشاری تبدیل و نسبت محیط را بقطر حساب کنیم معلوم میشود که ابوالوفاء بوزجانی عدد «پی» را محصور بین دو عدد 14158/3 و 14155/3 بدست آورده است. «اما ابوریحان بیرونی و ترقوس دو درجه ای را حساب کرده و طول محیط 180 ضلعی منتظم محاطی را مساوی با (و یو نط ی مح ها) بدست آورده است، و نصف مجموع اینها را طول محیط دایره گرفته... و این در دایرهء عظیمه ای که بر کرهء زمین فرض شود تقریباً یک فرسخ میشود...». پس از بیان این مقدمات غیاث الدین جمشید در رسالهء محیطیه مینویسد: «چون این اعمال مختل بود خواستم محیط دایره را بر حسب قطر آن طوری استخراج کنم که یقین داشته باشم در دایره ای که قطرش 600000 برابر قطر زمین باشد تفاوت نتیجهء حساب من با حقیقت بیک مو نرسد و یک مو عبارتست از یک ششم عرض جو معمولی و این رساله را که شامل استخراج محیط دایره است در ده فصل و یک خاتمه نوشتم و آن را محیطیه نامیدم...» در فصل اول رسالهء محیطیه استاد قضیهء زیر را ثابت میکند: اگر روی نیمدایره ای بقطر R2 = ABکمان دلخواه ACرا در نظر بگیریم و وسط کمان ABراکه مکمل AC است نقطهء Dبنامیم و وتر ADرا رسم کنیم رابطهء زیر برقرار است:
2-R (AB + AC) = AD
و سپس نتیجه میگیرد که اگر شعاع دایره و طول وتر ACدر دست باشد و وتر ACرا با قطر ABجمع و حاصل را در شعاع ضرب کنیم مربع وتر ADبدست می آید. در فصل دوم نیمدایره ای بقطر AB= 2R را در نظر میگیرد و کمان ACرا مساوی با 60 درجه اختیار میکند و وسط کمان BCرا نقطهء D و وسط کمان BD را نقطهء E و وسط کمان BEرا نقطهء Fمی نامد و میگوید از روی قضیه ای که در فصل اول ثابت شد میتوان طول وترهای AD و AE و AF را بدست آورد و این عمل را تا هر جا بخواهیم میتوانیم ادامه دهیم و آنگاه وسط کمان BFرا نقطهء Tمی نامد و OTرا رسم میکند تا BFرا در نقطهء K قطع کند و در نقطهء Tمماسی بر دایره رسم میکند تا امتداد OF را در نقطهء Q و امتداد OB را در نقطهء Pقطع کند و میگوید اگر BFضلع چند ضلعی منتظم محاط در دایره باشد PQضلع چندضلعی منتظم محیطی مشابه آن خواهد بود و صحت رابطهء زیر را ثابت میکند:
أاR - OK
و میگوید که OKنصف AF است و اگر OKو BFمعلوم باشند از رابطهء فوق میتوان PQیعنی ضلع چند ضلعی منتظم محیطی را بدست آورد.
در فصل سوم ثابت میکند که برای آنکه محیط دایره ای را که قطرش 600000 برابر قطر زمین باشد طوری استخراج کنیم که تفاوت بین حاصل و حقیقت از یک مو کمتر باشد کافیست که ثلث محیط را چنانکه در فصل دوم گفته شد 28 مرتبه نصف کنیم. و سپس در فصل های چهارم و پنجم 28 بار عمل مذکور در فصل دوم را انجام میدهد و به این ترتیب ضلع چند ضلعی های منتظم محاطی و محیطی را که عدهء اضلاعشان 80510368 باشد و همچنین محیط آنها را حساب میکند. سرانجام دو برابر عدد «پی» را بحساب ستینی مساوی با:
و یو نط کح ا لد نا مو ید ن یعنی:
6 16 59 28 1 34
درجه و دقیقه و ثانیه و ثالثه و رابعه و خامسه
51 46 14 50
و سادسه و سابعه و ثامنه و تاسعه
و در دستگاه اعشاری مساوی:
2831853071795865/6
به دست می آورد. به این حساب عدد «پی» مساوی است با:
1415926535897932/3
و این 16 رقم اعشار با 16 رقم اعشار مقدار واقعی «پی» موافق است.
این را هم ناگفته نگذاریم که شیخ بهائی در خلاصه الحساب مقدار«پی» را مساوی ( 3-1 ) 4 و یا11آقای ابوالقاسم قربانی در شمارهء 5 سال 6 مجلهء سخن صص399 تا 407).
(1) - Periphereia.
(2) - Decimales exactes.
(3) - Les Grands courants de la Pensee mathematique presentes par
F.le Lionnais. Paris 1948.
(4) - Les Mathematiques pour tous, Par Lancelot Hoghen. Paris 1950.
(5) - Jura.
(6) - Exhaustion.
(7) - Curiosites Geometriques. Par Fourrey Paris.
(8) - Rhind. قدیمترین مدرک از ریاضیات قدیم که در دست میباشد و تقریبا در هزاروپانصد سال قبل از میلاد تألیف شده است. رجوع بحاشیه 7 صفحه قبل و حاشیه 12 همین صفحه شود.
(9) - Tsu - chug - chih.
(10) - Fibonacci. (11) - جبر و مقابلهء خیام به انضمام تاریخ علوم ریاضی تا زمان خیام تألیف دکتر غلامحسین مصاحب چ تهران 1317 ه . ش.
(12) - Viete.
(13) - Adrien Romain.
(14) - Ludolf.
(15) - Recreations mathematiques et Problemes des temps anciens et
modernes. Par W.Rouse Balle.Paris
1919.ll.
(16) - Curiosites geometriques. أ Par Fourrey. Paris.
(17) - Recreations mathematiques et Problemes des temps anciens et
modernes. Par W. Rouse Balle. Pares
1919. II.
قافیه‌یاب برای اندروید
با خرید نسخه اندرویدی قافیه‌یاب از فروشگاه‌های زیر از این پروژه حمایت کنید:
ما را در شبکه‌های اجتماعی دنبال کنید
نرم‌افزار فرهنگ عروضی
گنجور
گنجور مجموعه‌ای ارزشمند از سروده‌ها و سخن‌رانی‌های شاعران پارسی‌گوی است که به صورت رایگان در اختیار همگان قرار گرفته است. برای مشاهده وب‌سایت گنجور اینجا کلیک کنید.
دریای سخن
نرم‌افزار دریای سخن کتابخانه‌ای بزرگ و ارزشمند از اشعار و سخنان شاعران گرانقدر ادب فارسی است که به حضور دوستداران شعر و ادب تقدیم می‌داریم.